Интеграл log(x^2-1) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  - 1/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} - 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} - 1}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} = 1 - \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{2 x + 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. пусть $u = x - 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

      Результат есть: $x + \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x + \log{\left (x - 1 \right )} - \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{2} - 1 \right )} - 2 x - \log{\left (x - 1 \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{2} - 1 \right )} - 2 x - \log{\left (x - 1 \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{2} - 1 \right )} - 2 x - \log{\left (x - 1 \right )} + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                      
  /                                      
 |                                       
 |     / 2    \                          
 |  log\x  - 1/ dx = -2 + 2*log(2) + pi*I
 |                                       
/                                        
0                                        

$${{4\,\log 2+2\,\log \left(-1\right)-4}\over{2}}$$

Численный ответ

(-0.613705638880109 + 3.14159265358979j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                   
 |                                                                    
 |    / 2    \                                   / 2    \             
 | log\x  - 1/ dx = C - log(-1 + x) - 2*x + x*log\x  - 1/ + log(1 + x)
 |                                                                    
/                                                                     

$$x\,\log \left(x^2-1\right)-2\,\left(-{{\log \left(x+1\right)}\over{ 2}}+x+{{\log \left(x-1\right)}\over{2}}\right)$$