Интеграл log(x^2-3) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  - 3/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} - 3 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} - 3 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} - 3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 3}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} - 3}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} - 3} = 1 + \frac{3}{x^{2} - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{3}{x^{2} - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x^{2} - 3}\, dx$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{\sqrt{3}}{6} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{\sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

      Результат есть: $x + \frac{\sqrt{3}}{2} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \frac{\sqrt{3}}{2} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x + \sqrt{3} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} - \sqrt{3} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{2} - 3 \right )} - 2 x - \sqrt{3} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} + \sqrt{3} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{2} - 3 \right )} - 2 x - \sqrt{3} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} + \sqrt{3} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{2} - 3 \right )} - 2 x - \sqrt{3} \log{\left (x - \sqrt{3} \right )} + \sqrt{3} \log{\left (x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                                                                                                           
  /                                                                                                                                           
 |                                                                                                                                            
 |     / 2    \                    ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\     ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\         
 |  log\x  - 3/ dx = -2 + pi*I + \/ 3 *\pi*I + log\\/ 3 // + \/ 3 *log\1 + \/ 3 / - \/ 3 *\pi*I + log\-1 + \/ 3 // - \/ 3 *log\\/ 3 / + log(2)
 |                                                                                                                                            
/                                                                                                                                             
0                                                                                                                                             

$${{-2\,\sqrt{3}\,\log \left(\sqrt{3}-2\right)+2\,\sqrt{3}\,\log \left(-1\right)+2\,\log \left(-2\right)-4}\over{2}}$$

Численный ответ

(0.974185169462784 + 3.14159265358979j)

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                      
 |                                                                                       
 |    / 2    \                     / 2    \     ___    /      ___\     ___    /      ___\
 | log\x  - 3/ dx = C - 2*x + x*log\x  - 3/ + \/ 3 *log\x + \/ 3 / - \/ 3 *log\x - \/ 3 /
 |                                                                                       
/                                                                                        

$$x\,\log \left(x^2-3\right)-2\,\left({{\sqrt{3}\,\log \left({{2\,x-2 \,\sqrt{3}}\over{2\,x+2\,\sqrt{3}}}\right)}\over{2}}+x\right)$$