Используем интегрирование по частям:
∫udv=uv−∫vdu
пусть u(x)=log(x2+4) и пусть dv(x)=1 dx.
Затем du(x)=x2+42x dx.
Чтобы найти v(x):
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
∫1dx=x
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫x2+42x2dx=2∫x2+4x2dx
Перепишите подынтегральное выражение:
x2+4x2=1−x2+44
Интегрируем почленно:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
∫1dx=x
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫−x2+44dx=−4∫x2+41dx
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫x2+41dx=41∫4x2+11dx
пусть u=2x.
Тогда пусть du=2dx и подставим 2du:
∫u2+12du
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
∫u2+12dx=2∫u2+11dx
Интеграл u2+11 есть atan(u).
Таким образом, результат будет: 2atan(u)
Если сейчас заменить u ещё в:
2atan(2x)
Таким образом, результат будет: 21atan(2x)
Таким образом, результат будет: −2atan(2x)
Результат есть: x−2atan(2x)
Таким образом, результат будет: 2x−4atan(2x)
Теперь упростить:
xlog(x2+4)−2x+4atan(2x)
Добавляем постоянную интегрирования:
xlog(x2+4)−2x+4atan(2x)+constant