Интеграл log(x^2+4) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + 4/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} + 4 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} + 4}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 4} = 1 - \frac{4}{x^{2} + 4}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4}{x^{2} + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx$

            1. пусть $u = \frac{x}{2}$.

               Тогда пусть $du = \frac{dx}{2}$ и подставим $2 du$:

               $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

      Результат есть: $x - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                           
  /                                           
 |                                            
 |     / 2    \                               
 |  log\x  + 4/ dx = -2 + 4*atan(1/2) + log(5)
 |                                            
/                                             
0                                             

$${{2\,\log 5+8\,\arctan \left({{1}\over{2}}\right)-4}\over{2}}$$

Численный ответ

1.46402834843732

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |    / 2    \                      /x\        / 2    \
 | log\x  + 4/ dx = C - 2*x + 4*atan|-| + x*log\x  + 4/
 |                                  \2/                
/                                                      

$$x\,\log \left(x^2+4\right)-2\,\left(x-2\,\arctan \left({{x}\over{2 }}\right)\right)$$