Интеграл log(x^2+4) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1               
      /               
     |                
     |     / 2    \   
     |  log\x  + 4/ dx
     |                
    /                 
    0                 
    01log(x2+4)dx\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} + 4 \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      пусть u(x)=log(x2+4)u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} + 4 \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

      Затем du(x)=2xx2+4\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} + 4} dx.

      Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        1dx=x\int 1\, dx = x

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      2x2x2+4dx=2x2x2+4dx\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 4}\, dx

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        x2x2+4=14x2+4\frac{x^{2}}{x^{2} + 4} = 1 - \frac{4}{x^{2} + 4}

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          4x2+4dx=41x2+4dx\int - \frac{4}{x^{2} + 4}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1x2+4dx=141x24+1dx\int \frac{1}{x^{2} + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{4} + 1}\, dx

            1. пусть u=x2u = \frac{x}{2}.

              Тогда пусть du=dx2du = \frac{dx}{2} и подставим 2du2 du:

              2u2+1du\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, du

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                2u2+1dx=21u2+1dx\int \frac{2}{u^{2} + 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx

                1. Интеграл 1u2+1\frac{1}{u^{2} + 1} есть atan(u)\operatorname{atan}{\left (u \right )}.

                Таким образом, результат будет: 2atan(u)2 \operatorname{atan}{\left (u \right )}

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              2atan(x2)2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

            Таким образом, результат будет: 12atan(x2)\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

          Таким образом, результат будет: 2atan(x2)- 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

        Результат есть: x2atan(x2)x - 2 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

      Таким образом, результат будет: 2x4atan(x2)2 x - 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

    3. Теперь упростить:

      xlog(x2+4)2x+4atan(x2)x \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}

    4. Добавляем постоянную интегрирования:

      xlog(x2+4)2x+4atan(x2)+constantx \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xlog(x2+4)2x+4atan(x2)+constantx \log{\left (x^{2} + 4 \right )} - 2 x + 4 \operatorname{atan}{\left (\frac{x}{2} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-5050
    Ответ [src]
      1                                           
      /                                           
     |                                            
     |     / 2    \                               
     |  log\x  + 4/ dx = -2 + 4*atan(1/2) + log(5)
     |                                            
    /                                             
    0                                             
    2log5+8arctan(12)42{{2\,\log 5+8\,\arctan \left({{1}\over{2}}\right)-4}\over{2}}
    Численный ответ [src]
    1.46402834843732
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                    
     |                                                     
     |    / 2    \                      /x\        / 2    \
     | log\x  + 4/ dx = C - 2*x + 4*atan|-| + x*log\x  + 4/
     |                                  \2/                
    /                                                      
    xlog(x2+4)2(x2arctan(x2))x\,\log \left(x^2+4\right)-2\,\left(x-2\,\arctan \left({{x}\over{2 }}\right)\right)