Интеграл log(x^2+9) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + 9/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x^{2} + 9 \right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x^{2} + 9 \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 9}$.

   Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 9}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 9}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 9} = 1 - \frac{9}{x^{2} + 9}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{9}{x^{2} + 9}\right)\, dx = - 9 \int \frac{1}{x^{2} + 9}\, dx$

         1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$.

         Таким образом, результат будет: $- 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

      Результат есть: $x - 3 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left(x^{2} + 9 \right)} - 2 x + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left(x^{2} + 9 \right)} - 2 x + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left(x^{2} + 9 \right)} - 2 x + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ

-2 + 6*atan(1/3) + log(10)

$$-2 + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \log{\left(10 \right)}$$

=

=

-2 + 6*atan(1/3) + log(10)

$$-2 + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)} + \log{\left(10 \right)}$$

Численный ответ

2.2330884193739

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |    / 2    \                      /x\        / 2    \
 | log\x  + 9/ dx = C - 2*x + 6*atan|-| + x*log\x  + 9/
 |                                  \3/                
/                                                      

$$\int \log{\left(x^{2} + 9 \right)}\, dx = C + x \log{\left(x^{2} + 9 \right)} - 2 x + 6 \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$

График