Интеграл log(x^2+5) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + 5/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} + 5 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} + 5 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x}{x^{2} + 5}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 5}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + 5}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} = 1 - \frac{5}{x^{2} + 5}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{5}{x^{2} + 5}\, dx = - 5 \int \frac{1}{x^{2} + 5}\, dx$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{x^{2} + 5}\, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{\frac{x^{2}}{5} + 1}\, dx$

            1. пусть $u = \frac{\sqrt{5} x}{5}$.

               Тогда пусть $du = \frac{\sqrt{5} dx}{5}$ и подставим $\sqrt{5} du$:

               $\int \frac{\sqrt{5}}{u^{2} + 1}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{\sqrt{5}}{u^{2} + 1}\, dx = \sqrt{5} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{5}}{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

      Результат есть: $x - \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x^{2} + 5 \right )} - 2 x + 2 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x^{2} + 5 \right )} - 2 x + 2 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x^{2} + 5 \right )} - 2 x + 2 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left (\frac{\sqrt{5} x}{5} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                   
  /                                                   
 |                                    /  ___\         
 |     / 2    \               ___     |\/ 5 |         
 |  log\x  + 5/ dx = -2 + 2*\/ 5 *atan|-----| + log(6)
 |                                    \  5  /         
/                                                     
0                                                     

$${{4\,\sqrt{5}\,\arctan \left({{1}\over{\sqrt{5}}}\right)+2\,\log 6- 4}\over{2}}$$

Численный ответ

1.67244619036332

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                
 |                                                        /    ___\
 |    / 2    \                     / 2    \       ___     |x*\/ 5 |
 | log\x  + 5/ dx = C - 2*x + x*log\x  + 5/ + 2*\/ 5 *atan|-------|
 |                                                        \   5   /
/                                                                  

$$x\,\log \left(x^2+5\right)-2\,\left(x-\sqrt{5}\,\arctan \left({{x }\over{\sqrt{5}}}\right)\right)$$