Интеграл log(x^2+x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |     / 2    \   
 |  log\x  + x/ dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} \log{\left (x^{2} + x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x^{2} + x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      $\int 1\, dx = x$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x} = 2 - \frac{1}{x + 1}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 2\, dx = 2 x$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

         1. пусть $u = x + 1$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $2 x - \log{\left (x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x \left(2 x + 1\right)}{x^{2} + x} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + x} + \frac{x}{x^{2} + x}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2 x^{2}}{x^{2} + x}\, dx = 2 \int \frac{x^{2}}{x^{2} + x}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x^{2}}{x^{2} + x} = 1 - \frac{1}{x + 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, dx = x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x + 1}\, dx = - \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

               1. пусть $u = x + 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x + 1 \right )}$

            Результат есть: $x - \log{\left (x + 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 x - 2 \log{\left (x + 1 \right )}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x^{2} + x} = \frac{1}{x + 1}$

      2. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Результат есть: $2 x - \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Теперь упростить:

   $x \log{\left (x \left(x + 1\right) \right )} - 2 x + \log{\left (x + 1 \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x \log{\left (x \left(x + 1\right) \right )} - 2 x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x \log{\left (x \left(x + 1\right) \right )} - 2 x + \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     / 2    \                   
 |  log\x  + x/ dx = -2 + 2*log(2)
 |                                
/                                 
0                                 

$${{\log 4}\over{2}}+\log 2-2$$

Численный ответ

-0.613705638880109

Ответ (Неопределённый)

  /                                                     
 |                                                      
 |    / 2    \                     / 2    \             
 | log\x  + x/ dx = C - 2*x + x*log\x  + x/ + log(1 + x)
 |                                                      
/                                                       

$$x\,\log \left(x^2+x\right)+\log \left(x+1\right)-2\,x$$