Интеграл log(x^3)/x (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     / 3\   
 |  log\x /   
 |  ------- dx
 |     x      
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \log{\left (x^{3} \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \log{\left (x^{3} \right )}$.

      Тогда пусть $du = \frac{3 dx}{x}$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = \frac{1}{3} \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{u^{2}}{6}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \log^{2}{\left (x^{3} \right )}$

   Метод #2

   1. пусть $u = x^{3}$.

      Тогда пусть $du = 3 x^{2} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \log{\left (u \right )}\, du$

         1. пусть $u = \log{\left (u \right )}$.

            Тогда пусть $du = \frac{du}{u}$ и подставим $du$:

            $\int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{2} \log^{2}{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{6} \log^{2}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{6} \log^{2}{\left (x^{3} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{6} \log^{2}{\left (x^{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{6} \log^{2}{\left (x^{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     / 3\         
 |  log\x /         
 |  ------- dx = -oo
 |     x            
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-2915.89159024598