Интеграл -2/sin(2*x) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |    -2       
 |  -------- dx
 |  sin(2*x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} - \frac{2}{\sin{\left (2 x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |   -2       
 | -------- dx
 | sin(2*x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

  -2    
--------
sin(2*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(2*x)

получим

  -2       -2*sin(2*x)
-------- = -----------
sin(2*x)       2      
            sin (2*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
sin (2*x) = 1 - cos (2*x)

преобразуем знаменатель

-2*sin(2*x)    -2*sin(2*x) 
----------- = -------------
    2                2     
 sin (2*x)    1 - cos (2*x)

сделаем замену

u = cos(2*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |  -2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |  -2*sin(2*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (2*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -2*dx*sin(2*x)

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

           1       1  
         ----- + -----
  1      1 - u   1 + u
------ = -------------
     2         2      
1 - u                 

тогда

                 /             /          
                |             |           
                |   1         |   1       
                | ----- du    | ----- du  
  /             | 1 + u       | 1 - u     
 |              |             |           
 |   1         /             /           =
 | ------ du = ----------- + -----------  
 |      2           2             2       
 | 1 - u                                  
 |                                        
/                                         
  

= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2

делаем обратную замену

u = cos(2*x)

Ответ

  /                                                         
 |                                                          
 |   -2          log(1 + cos(2*x))   log(-1 + cos(2*x))     
 | -------- dx = ----------------- - ------------------ + C0
 | sin(2*x)              2                   2              
 |                                                          
/                                                           

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |    -2                pi*I
 |  -------- dx = -oo - ----
 |  sin(2*x)             2  
 |                          
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

-44.5334688581098