Интеграл -log(cos(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |  -log(cos(x)) dx
     |                 
    /                  
    0                  
    01log(cos(x))dx\int_{0}^{1} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx
    Подробное решение
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      log(cos(x))dx=log(cos(x))dx\int - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx = - \int \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}\, dx

      1. Используем интегрирование по частям:

        udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        пусть u(x)=log(cos(x))u{\left (x \right )} = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} и пусть dv(x)=1\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1 dx.

        Затем du(x)=sin(x)cos(x)\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} dx.

        Чтобы найти v(x)v{\left (x \right )}:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          1dx=x\int 1\, dx = x

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        xsin(x)cos(x)dx=xsin(x)cos(x)dx\int - \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx = - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx

        1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

          Но интеграл

          xsin(x)cos(x)dx\int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx

        Таким образом, результат будет: xsin(x)cos(x)dx- \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx

      Таким образом, результат будет: xlog(cos(x))xsin(x)cos(x)dx- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int \frac{x \sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}\, dx

    2. Теперь упростить:

      xlog(cos(x))xtan(x)dx- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      xlog(cos(x))xtan(x)dx+constant- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    xlog(cos(x))xtan(x)dx+constant- x \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \int x \tan{\left (x \right )}\, dx+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                      1               
      /                      /               
     |                      |                
     |  -log(cos(x)) dx = - |  log(cos(x)) dx
     |                      |                
    /                      /                 
    0                      0                 
    2iarctan(sin2cos2+1)+log(2cos2+2)ili2(e2i)i2logcos1iπ224{{2\,i\,\arctan \left({{\sin 2}\over{\cos 2+1}}\right)+\log \left(2 \,\cos 2+2\right)-i\,{\it li}_{2}(-e^{2\,i})-i}\over{2}}-\log \cos 1 -{{i\,\pi^2}\over{24}}
    Численный ответ [src]
    0.187538169020838
    Ответ (Неопределённый) [src]
                               /                           
      /                       |                            
     |                        | x*sin(x)                   
     | -log(cos(x)) dx = C -  | -------- dx - x*log(cos(x))
     |                        |  cos(x)                    
    /                         |                            
                             /                             
    xlog(sin2(2x)+cos2(2x)+2cos(2x)+1)+2ixatan2(sin(2x),cos(2x)+1)ili2(e2ix)ix22xlogcosx{{x\,\log \left(\sin ^2\left(2\,x\right)+\cos ^2\left(2\,x\right)+2 \,\cos \left(2\,x\right)+1\right)+2\,i\,x\,{\rm atan2}\left(\sin \left(2\,x\right) , \cos \left(2\,x\right)+1\right)-i\,{\it li}_{2}( -e^{2\,i\,x})-i\,x^2}\over{2}}-x\,\log \cos x