Интеграл -log(1-x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |  -log(1 - x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} - \log{\left (- x + 1 \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \log{\left (- x + 1 \right )}\, dx = - \int \log{\left (- x + 1 \right )}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x + 1$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

         $\int \log{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \log{\left (u \right )}\, du = - \int \log{\left (u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = \log{\left (u \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = \frac{1}{u}$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Таким образом, результат будет: $- u \log{\left (u \right )} + u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x - \left(- x + 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} + 1$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (- x + 1 \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{1}{- x + 1}$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, dx = x$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{x}{- x + 1}\, dx = - \int \frac{x}{- x + 1}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{x}{- x + 1} = -1 - \frac{1}{x - 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, dx = - x$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = x - 1$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 1 \right )}$

            Результат есть: $- x - \log{\left (x - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $x + \log{\left (x - 1 \right )}$

   Таким образом, результат будет: $x + \left(- x + 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} - 1$

2. Теперь упростить:

   $x - \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} - 1$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x - \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} - 1+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x - \left(x - 1\right) \log{\left (- x + 1 \right )} - 1+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                            
  /                            
 |                             
 |  -log(1 - x) dx = 1 - 2*pi*I
 |                             
/                              
0                              

$$1$$

Численный ответ

1.0

Ответ (Неопределённый)

  /                                                
 |                                                 
 | -log(1 - x) dx = -1 + C + x + (1 - x)*log(1 - x)
 |                                                 
/                                                  

$$x+\log \left(1-x\right)\,\left(1-x\right)-1$$