Интеграл -1/(e^x-1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   -1      
 |  ------ dx
 |   x       
 |  E  - 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} - \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx = - \int \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{1}{e^{x} - 1}$

   2. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u^{2} - u}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $- \log{\left (e^{x} - 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (e^{x} - 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (e^{x} - 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |   -1            
 |  ------ dx = -oo
 |   x             
 |  E  - 1         
 |                 
/                  
0                  

$$-\int_{0}^{1}{{{1}\over{E^{x}-1}}\;dx}$$

Численный ответ

-43.6322563900987

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |  -1                /      x\      / x\
 | ------ dx = C - log\-1 + e / + log\e /
 |  x                                    
 | E  - 1                                
 |                                       
/                                        

$$x-{{\log \left(E^{x}-1\right)}\over{\log E}}$$