Интеграл -1/(e^x+1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |   -1      
 |  ------ dx
 |   x       
 |  E  + 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} - \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx = - \int \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx$

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{e^{x} + 1} = \frac{1}{e^{x} + 1}$

   2. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u \left(u + 1\right)}\, du$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. пусть $u = u + 1$.

                  Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (u + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = \frac{1}{u^{2} + u}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{u^{2} + u} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

               1. пусть $u = u + 1$.

                  Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (u + 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (e^{x} + 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                     
  /                                     
 |                                      
 |   -1                                 
 |  ------ dx = -1 - log(2) + log(1 + E)
 |   x                                  
 |  E  + 1                              
 |                                      
/                                       
0                                       

$${{\log \left(E+1\right)-\log E}\over{\log E}}-{{\log 2}\over{\log E }}$$

Численный ответ

-0.379885493041722

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 |  -1                / x\      /     x\
 | ------ dx = C - log\e / + log\1 + e /
 |  x                                   
 | E  + 1                               
 |                                      
/                                       

$${{\log \left(E^{x}+1\right)}\over{\log E}}-x$$