Интеграл (-x+1)^2 (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |          2   
 |  (-x + 1)  dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \left(- x + 1\right)^{2}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - x + 1$.

      Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

      $\int u^{2}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \left(- x + 1\right)^{3}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(- x + 1\right)^{2} = x^{2} - 2 x + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - 2 x\, dx = - 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $\frac{x^{3}}{3} - x^{2} + x$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{3} \left(x - 1\right)^{3}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \left(x - 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \left(x - 1\right)^{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |          2         
 |  (-x + 1)  dx = 1/3
 |                    
/                     
0                     

$${{1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                            
 |                            3
 |         2          (-x + 1) 
 | (-x + 1)  dx = C - ---------
 |                        3    
/                              

$${{x^3}\over{3}}-x^2+x$$