Интеграл -x*e^(-x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |      -x   
 |  -x*E   dx
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} e^{- x} \left(- x\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{- x} \left(- x\right) = - x e^{- x}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - x e^{- x}\, dx = - \int x e^{- x}\, dx$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = - x$.

         Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = e^{u}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{- x}$ dx.

         Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

         Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - e^{- x}\, dx = - \int e^{- x}\, dx$

         1. пусть $u = - x$.

            Тогда пусть $du = - dx$ и подставим $- du$:

            $\int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int e^{u}\, du = - \int e^{u}\, du$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $- e^{u}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, результат будет: $e^{- x}$

   Таким образом, результат будет: $x e^{- x} + e^{- x}$

3. Теперь упростить:

   $\left(x + 1\right) e^{- x}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\left(x + 1\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |      -x              -1
 |  -x*E   dx = -1 + 2*e  
 |                        
/                         
0                         

$${{\log E+1}\over{E\,\left(\log E\right)^2}}-{{1}\over{\left(\log E \right)^2}}$$

Численный ответ

-0.264241117657115

Ответ (Неопределённый)

  /                           
 |                            
 |     -x             -x    -x
 | -x*E   dx = C + x*e   + e  
 |                            
/                             

$${{\left(\log E\,x+1\right)\,e^ {- \log E\,x }}\over{\left(\log E \right)^2}}$$