Интеграл -x*log(x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |  -x*log(x) dx
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} - x \log{\left (x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = - x$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = \frac{1}{x}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - x\, dx = - \int x\, dx$

      1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{2}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{x}{2}\, dx = - \frac{1}{2} \int x\, dx$

   1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   Таким образом, результат будет: $- \frac{x^{2}}{4}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 1\right)$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{x^{2}}{4} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2}}{4} \left(- 2 \log{\left (x \right )} + 1\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                   
  /                   
 |                    
 |  -x*log(x) dx = 1/4
 |                    
/                     
0                     

$${{1}\over{4}}$$

Численный ответ

0.25

Ответ (Неопределённый)

  /                    2    2       
 |                    x    x *log(x)
 | -x*log(x) dx = C + -- - ---------
 |                    4        2    
/                                   

$${{x^2}\over{4}}-{{x^2\,\log x}\over{2}}$$