Интеграл 1/(a+x^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       2   
 |  a + x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{a + x^{2}}\, dx$$

Подробное решение

1. Thесть integral must be done piecewестьe.

   For the interval where $a > 0$:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{a + x^{2}}\, dx = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{a}}\, dx$

      1. пусть $u = x \sqrt{\frac{1}{a}}$.

         Тогда пусть $du = \sqrt{\frac{1}{a}} dx$ и подставим $\sqrt{a} du$:

         $\int \frac{\sqrt{a}}{u^{2} + 1}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{\sqrt{a}}{u^{2} + 1}\, dx = \sqrt{a} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx$

            1. Интеграл $\frac{1}{u^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\sqrt{a} \operatorname{atan}{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\sqrt{a} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )} & \text{for}\: a > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )} & \text{for}\: a > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 _____    /       _____\       _____    /          _____\       _____    /      _____\       _____    /          _____\
  /                / -1      |      / -1  |      / -1      |         / -1  |      / -1      |     / -1  |      / -1      |         / -1  |
 |                /  --- *log|-a*  /  --- |     /  --- *log|1 + a*  /  --- |     /  --- *log|a*  /  --- |     /  --- *log|1 - a*  /  --- |
 |    1         \/    a      \   \/    a  /   \/    a      \      \/    a  /   \/    a      \  \/    a  /   \/    a      \      \/    a  /
 |  ------ dx = --------------------------- + ------------------------------ - -------------------------- - ------------------------------
 |       2                   2                              2                              2                              2               
 |  a + x                                                                                                                                 
 |                                                                                                                                        
/                                                                                                                                         
0                                                                                                                                         

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{a + x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (- a \sqrt{- \frac{1}{a}} \right )} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (a \sqrt{- \frac{1}{a}} \right )} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (- a \sqrt{- \frac{1}{a}} + 1 \right )} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (a \sqrt{- \frac{1}{a}} + 1 \right )}$$