Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл 1/(a+x^2) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       2   
 |  a + x    
 |           
/            
0
    ∫011a+x2 dx\int_{0}^{1} \frac{1}{a + x^{2}}\, dx
    Подробное решение

    1. Thесть integral must be done piecewестьe.

        For the interval where a>0a > 0:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        ∫1a+x2 dx=1a∫11+x2a dx\int \frac{1}{a + x^{2}}\, dx = \frac{1}{a} \int \frac{1}{1 + \frac{x^{2}}{a}}\, dx

        1. пусть u=x1au = x \sqrt{\frac{1}{a}}.

          Тогда пусть du=1adxdu = \sqrt{\frac{1}{a}} dx и подставим adu\sqrt{a} du:

          ∫au2+1 du\int \frac{\sqrt{a}}{u^{2} + 1}\, du

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            ∫au2+1 dx=a∫1u2+1 dx\int \frac{\sqrt{a}}{u^{2} + 1}\, dx = \sqrt{a} \int \frac{1}{u^{2} + 1}\, dx

            1. Интеграл 1u2+1\frac{1}{u^{2} + 1} есть atan⁡(u)\operatorname{atan}{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: aatan⁡(u)\sqrt{a} \operatorname{atan}{\left (u \right )}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          aatan⁡(x1a)\sqrt{a} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )}

        Таким образом, результат будет: 1aatan⁡(x1a)\frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      {1aatan⁡(x1a)for a>0+constant\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )} & \text{for}\: a > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    {1aatan⁡(x1a)for a>0+constant\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{a}} \operatorname{atan}{\left (x \sqrt{\frac{1}{a}} \right )} & \text{for}\: a > 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}

    Ответ [src]
      1                 _____    /       _____\       _____    /          _____\       _____    /      _____\       _____    /          _____\
  /                / -1      |      / -1  |      / -1      |         / -1  |      / -1      |     / -1  |      / -1      |         / -1  |
 |                /  --- *log|-a*  /  --- |     /  --- *log|1 + a*  /  --- |     /  --- *log|a*  /  --- |     /  --- *log|1 - a*  /  --- |
 |    1         \/    a      \   \/    a  /   \/    a      \      \/    a  /   \/    a      \  \/    a  /   \/    a      \      \/    a  /
 |  ------ dx = --------------------------- + ------------------------------ - -------------------------- - ------------------------------
 |       2                   2                              2                              2                              2               
 |  a + x                                                                                                                                 
 |                                                                                                                                        
/                                                                                                                                         
0
    ∫011a+x2 dx=−1a2log⁡(−a−1a)−−1a2log⁡(a−1a)−−1a2log⁡(−a−1a+1)+−1a2log⁡(a−1a+1)\int_{0}^{1} \frac{1}{a + x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (- a \sqrt{- \frac{1}{a}} \right )} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (a \sqrt{- \frac{1}{a}} \right )} - \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (- a \sqrt{- \frac{1}{a}} + 1 \right )} + \frac{\sqrt{- \frac{1}{a}}}{2} \log{\left (a \sqrt{- \frac{1}{a}} + 1 \right )}