Интеграл 1/(2*sin(x)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  2*sin(x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 \sin{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | 2*sin(x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

   1    
--------
2*sin(x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(x)

получим

           /sin(x)\
           |------|
   1       \  2   /
-------- = --------
2*sin(x)      2    
           sin (x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (x) = 1 - cos (x)

преобразуем знаменатель

/sin(x)\     /sin(x)\ 
|------|     |------| 
\  2   /     \  2   / 
-------- = -----------
   2              2   
sin (x)    1 - cos (x)

сделаем замену

u = cos(x)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |   /sin(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |   /sin(x)\      
 |   |------|      
 |   \  2   /      
 | ----------- dx =
 |        2        
 | 1 - cos (x)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = -dx*sin(x)

  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

              /  1       1  \ 
             -|----- + -----| 
   -1         \1 - u   1 + u/ 
---------- = -----------------
  /     2\           4        
2*\1 - u /                    

тогда

                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             4             4       
 | 2*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  

= -log(1 + u)/4 + log(-1 + u)/4

делаем обратную замену

u = cos(x)

Ответ

  /                                                       
 |                                                        
 |    1            log(1 + cos(x))   log(-1 + cos(x))     
 | -------- dx = - --------------- + ---------------- + C0
 | 2*sin(x)               4                 4             
 |                                                        
/                                                         

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     1               pi*I
 |  -------- dx = oo + ----
 |  2*sin(x)            4  
 |                         
/                          
0                          

$${\it \%a}$$

Численный ответ

22.0895054343056

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |    1              log(1 + cos(x))   log(-1 + cos(x))
 | -------- dx = C - --------------- + ----------------
 | 2*sin(x)                 4                 4        
 |                                                     
/                                                      

$${{{{\log \left(\cos x-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos x+1 \right)}\over{2}}}\over{2}}$$