Интеграл 1/(2*y+1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dy
 |  2*y + 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{2 y + 1}\, dy$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 y + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (2 y + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{2 y + 1} = \frac{1}{2 y + 1}$

   2. пусть $u = 2 y + 1$.

      Тогда пусть $du = 2 dy$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{2} \log{\left (2 y + 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{1}{2} \log{\left (2 y + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (2 y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (2 y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                    
  /                    
 |                     
 |     1         log(3)
 |  ------- dy = ------
 |  2*y + 1        2   
 |                     
/                      
0                      

$${{\log 3}\over{2}}$$

Численный ответ

0.549306144334055

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(2*y + 1)
 | ------- dy = C + ------------
 | 2*y + 1               2      
 |                              
/                               

$${{\log \left(2\,y+1\right)}\over{2}}$$