Интеграл 1/exp(3*x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     1     
 |  1*---- dx
 |     3*x   
 |    e      
 |           
/            
0            

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{e^{3 x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \frac{1}{e^{3 x}}$.

      Тогда пусть $du = - 3 e^{- 3 x} dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{9}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{\int 1\, du}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{3}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

   Метод #2

   1. пусть $u = e^{3 x}$.

      Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{9 u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{3 u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{e^{- 3 x}}{3}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{e^{- 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{- 3 x}}{3}+ \mathrm{constant}$

Ответ

     -3
1   e  
- - ---
3    3 

$$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 e^{3}}$$

=

=

     -3
1   e  
- - ---
3    3 

$$\frac{1}{3} - \frac{1}{3 e^{3}}$$

Численный ответ

0.316737643877379

Ответ (Неопределённый)

  /                     
 |                  -3*x
 |    1            e    
 | 1*---- dx = C - -----
 |    3*x            3  
 |   e                  
 |                      
/                       

$$\int 1 \cdot \frac{1}{e^{3 x}}\, dx = C - \frac{e^{- 3 x}}{3}$$

График