Интеграл 1/(exp(x)-1) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   x       
 |  e  - 1   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u^{2} - u}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |    1           
 |  ------ dx = oo
 |   x            
 |  e  - 1        
 |                
/                 
0                 

$${\it \%a}$$

Численный ответ

43.6322563900987

Ответ (Неопределённый)

  /                                      
 |                                       
 |   1                / x\      /      x\
 | ------ dx = C - log\e / + log\-1 + e /
 |  x                                    
 | e  - 1                                
 |                                       
/                                        

$$\log \left(e^{x}-1\right)-x$$