Интеграл 1/(exp(x)+2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   x       
 |  e  + 2   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} + 2}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(u + 2\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 2\right)} = - \frac{1}{2 u + 4} + \frac{1}{2 u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2 u + 4}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 2}\, du$

            1. пусть $u = u + 2$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u + 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u + 2 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 2\right)} = \frac{1}{u^{2} + 2 u}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} + 2 u} = - \frac{1}{2 u + 4} + \frac{1}{2 u}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2 u + 4}\, du = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 2}\, du$

            1. пусть $u = u + 2$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (u + 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u + 2 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} + 2 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |    1         1   log(3)   log(2 + E)
 |  ------ dx = - + ------ - ----------
 |   x          2     2          2     
 |  e  + 2                             
 |                                     
/                                      
0                                      

$$-{{\log \left(e+2\right)}\over{2}}+{{\log 3}\over{2}}+{{1}\over{2}}$$

Численный ответ

0.273583787368029

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                    / x\      /     x\
 |   1             log\e /   log\2 + e /
 | ------ dx = C + ------- - -----------
 |  x                 2           2     
 | e  + 2                               
 |                                      
/                                       

$${{x}\over{2}}-{{\log \left(e^{x}+2\right)}\over{2}}$$