Интеграл 1/(e^(2*x)) (dx)

Вы ввели

  1        
  /        
 |         
 |   1     
 |  ---- dx
 |   2*x   
 |  E      
 |         
/          
0          

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{2 x}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{2 x}$.

      Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{1}{u^{2}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2 u}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{e^{2 x}} = e^{- 2 x}$

   2. пусть $u = - 2 x$.

      Тогда пусть $du = - 2 dx$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

      $\int e^{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int e^{u}\, du = - \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{e^{u}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} e^{- 2 x}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                  
  /                  
 |                 -2
 |   1        1   e  
 |  ---- dx = - - ---
 |   2*x      2    2 
 |  E                
 |                   
/                    
0                    

$${{1}\over{2\,\log E}}-{{1}\over{2\,E^2\,\log E}}$$

Численный ответ

0.432332358381694

Ответ (Неопределённый)

  /                   
 |                -2*x
 |  1            e    
 | ---- dx = C - -----
 |  2*x            2  
 | E                  
 |                    
/                     

$$-{{1}\over{2\,E^{2\,x}\,\log E}}$$