Интеграл 1/(e^(-y)-1) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dy
 |   -y       
 |  E   - 1   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{-1 + e^{- y}}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{-1 + e^{- y}} = \frac{1}{-1 + e^{- y}}$

2. пусть $u = e^{y}$.

   Тогда пусть $du = e^{y} dy$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(-1 + \frac{1}{u}\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(-1 + \frac{1}{u}\right)} = - \frac{1}{u - 1}$

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{u - 1}\, du = - \int \frac{1}{u - 1}\, du$

         1. пусть $u = u - 1$.

            Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (u - 1 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u - 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(-1 + \frac{1}{u}\right)} = \frac{1}{- u + 1}$

      2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = - u + 1$.

            Тогда пусть $du = - du$ и подставим $- du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \log{\left (- u + 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{- u + 1} = - \frac{1}{u - 1}$

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u - 1}\, du = - \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u - 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \log{\left (e^{y} - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (e^{y} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (e^{y} - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     1                   
 |  ------- dy = -oo - pi*I
 |   -y                    
 |  E   - 1                
 |                         
/                          
0                          

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{-1 + e^{- y}}\, dy = -\infty - i \pi$$

Численный ответ

-44.6322816409612

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1                /      y\
 | ------- dy = C - log\-1 + e /
 |  -y                          
 | E   - 1                      
 |                              
/                               

$$-y-{{\log \left({{1}\over{E^{y}}}-1\right)}\over{\log E}}$$