Интеграл 1/(e^x-1) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dx
     |   x       
     |  E  - 1   
     |           
    /            
    0            
    011ex1dx\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} - 1}\, dx
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      1ex1=1ex1\frac{1}{e^{x} - 1} = \frac{1}{e^{x} - 1}

    2. пусть u=exu = e^{x}.

      Тогда пусть du=exdxdu = e^{x} dx и подставим dudu:

      1u(u1)du\int \frac{1}{u \left(u - 1\right)}\, du

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u(u1)=1u11u\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}

        2. Интегрируем почленно:

          1. пусть u=u1u = u - 1.

            Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(u1)\log{\left (u - 1 \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=1udu\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left (u \right )}

          Результат есть: log(u)+log(u1)- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u(u1)=1u2u\frac{1}{u \left(u - 1\right)} = \frac{1}{u^{2} - u}

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u2u=1u11u\frac{1}{u^{2} - u} = \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u}

        3. Интегрируем почленно:

          1. пусть u=u1u = u - 1.

            Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

            1udu\int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            log(u1)\log{\left (u - 1 \right )}

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1udu=1udu\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

            1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

            Таким образом, результат будет: log(u)- \log{\left (u \right )}

          Результат есть: log(u)+log(u1)- \log{\left (u \right )} + \log{\left (u - 1 \right )}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      log(ex1)log(ex)\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(ex1)log(ex)+constant\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(ex1)log(ex)+constant\log{\left (e^{x} - 1 \right )} - \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-2020
    Ответ [src]
      1               
      /               
     |                
     |    1           
     |  ------ dx = oo
     |   x            
     |  E  - 1        
     |                
    /                 
    0                 
    011Ex1  dx\int_{0}^{1}{{{1}\over{E^{x}-1}}\;dx}
    Численный ответ [src]
    43.6322563900987
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                      
     |                                       
     |   1                / x\      /      x\
     | ------ dx = C - log\e / + log\-1 + e /
     |  x                                    
     | E  - 1                                
     |                                       
    /                                        
    log(Ex1)logEx{{\log \left(E^{x}-1\right)}\over{\log E}}-x