Интеграл 1/tanh(x) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |  tanh(x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\tanh{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = \tanh{\left (x \right )}$.

   Тогда пусть $du = \left(- \tanh^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $- du$:

   $\int \frac{1}{u^{3} - u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{u^{3} - u}\, du = - \int \frac{1}{u^{3} - u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{3} - u} = \frac{1}{2 u + 2} + \frac{1}{2 u - 2} - \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u + 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{2 u - 2}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u - 1}\, du$

            1. пусть $u = u - 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u}\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u \right )}$

         Результат есть: $- \log{\left (u \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\log{\left (u \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tanh{\left (x \right )} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tanh{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\tanh{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tanh{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |     1           
 |  ------- dx = oo
 |  tanh(x)        
 |                 
/                  
0                  

$${\it \%a}$$

Численный ответ

44.2518854955641

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                    
 |                                                                     
 |    1             log(1 + tanh(x))   log(-1 + tanh(x))               
 | ------- dx = C - ---------------- - ----------------- + log(tanh(x))
 | tanh(x)                 2                   2                       
 |                                                                     
/                                                                      

$$\log \left(e^{x}-e^ {- x }\right)$$