Интеграл 1/cos(4*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    cos(4*x)   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\cos{\left(4 x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |     cos(4*x)   
 |                
/                 

Подинтегральная функция

     1    
1*--------
  cos(4*x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(4*x)

получим

     1       1*cos(4*x)
1*-------- = ----------
  cos(4*x)      2      
             cos (4*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
cos (4*x) = 1 - sin (4*x)

преобразуем знаменатель

1*cos(4*x)     1*cos(4*x) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (4*x)    1 - sin (4*x)

сделаем замену

u = sin(4*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*cos(4*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (4*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   1*cos(4*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (4*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = 4*dx*cos(4*x)

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 4*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

    1        1*1/4 /  1       1  \
---------- = -----*|----- + -----|
  /     2\     2   \1 - u   1 + u/
4*\1 - u /                        

тогда

                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           8             8       
 | 4*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  

= -log(-1 + u)/8 + log(1 + u)/8

делаем обратную замену

u = sin(4*x)

Ответ

  /                                                               
 |                                                                
 |        1            log(-1 + sin(4*x))   log(1 + sin(4*x))     
 | 1*1*-------- dx = - ------------------ + ----------------- + C0
 |     cos(4*x)                8                    8             
 |                                                                
/                                                                 

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

nan

$$\text{NaN}$$

=

=

nan

$$\text{NaN}$$

Численный ответ

1.33662301895445

Ответ (Неопределённый)

  /                                                          
 |                                                           
 |      1              log(-1 + sin(4*x))   log(1 + sin(4*x))
 | 1*-------- dx = C - ------------------ + -----------------
 |   cos(4*x)                  8                    8        
 |                                                           
/                                                            

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\cos{\left(4 x \right)}}\, dx = C - \frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} - 1 \right)}}{8} + \frac{\log{\left(\sin{\left(4 x \right)} + 1 \right)}}{8}$$

График