Интеграл 1/cos(10*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  cos(10*x)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left (10 x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dx
 | cos(10*x)   
 |             
/              

Подинтегральная функция

    1    
---------
cos(10*x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(10*x)

получим

    1       cos(10*x) 
--------- = ----------
cos(10*x)      2      
            cos (10*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2                2      
cos (10*x) = 1 - sin (10*x)

преобразуем знаменатель

cos(10*x)      cos(10*x)   
---------- = --------------
   2                2      
cos (10*x)   1 - sin (10*x)

сделаем замену

u = sin(10*x)

тогда интеграл

  /                   
 |                    
 |   cos(10*x)        
 | -------------- dx  
 |        2          =
 | 1 - sin (10*x)     
 |                    
/                     
  

  /                   
 |                    
 |   cos(10*x)        
 | -------------- dx  
 |        2          =
 | 1 - sin (10*x)     
 |                    
/                     
  

Т.к. du = 10*dx*cos(10*x)

  /              
 |               
 |      1        
 | ----------- du
 |    /     2\   
 | 10*\1 - u /   
 |               
/                

Перепишем подинтегральную функцию

                1       1  
              ----- + -----
     1        1 - u   1 + u
----------- = -------------
   /     2\         20     
10*\1 - u /                

тогда

                      /             /          
                     |             |           
                     |   1         |   1       
                     | ----- du    | ----- du  
  /                  | 1 + u       | 1 - u     
 |                   |             |           
 |      1           /             /           =
 | ----------- du = ----------- + -----------  
 |    /     2\           20            20      
 | 10*\1 - u /                                 
 |                                             
/                                              
  

= -log(-1 + u)/20 + log(1 + u)/20

делаем обратную замену

u = sin(10*x)

Ответ

  /                                                              
 |                                                               
 |     1            log(-1 + sin(10*x))   log(1 + sin(10*x))     
 | --------- dx = - ------------------- + ------------------ + C0
 | cos(10*x)                 20                   20             
 |                                                               
/                                                                

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                                                     
  /                                                     
 |                                                      
 |      1            log(1 - sin(10))   log(1 + sin(10))
 |  --------- dx = - ---------------- + ----------------
 |  cos(10*x)               20                 20       
 |                                                      
/                                                       
0                                                       

$${{\log \left(\sin 10+1\right)}\over{20}}-{{\log \left(1-\sin 10 \right)}\over{20}}$$

Численный ответ

0.193680217789456

Ответ (Неопределённый)

  /                                                           
 |                                                            
 |     1              log(-1 + sin(10*x))   log(1 + sin(10*x))
 | --------- dx = C - ------------------- + ------------------
 | cos(10*x)                   20                   20        
 |                                                            
/                                                             

$${{{{\log \left(\sin \left(10\,x\right)+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin \left(10\,x\right)-1\right)}\over{2}}}\over{10}}$$