Интеграл 1/(cos(2*x)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  cos(2*x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left (2 x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | cos(2*x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

   1    
--------
cos(2*x)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(2*x)

получим

   1        cos(2*x)
-------- = ---------
cos(2*x)      2     
           cos (2*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
cos (2*x) = 1 - sin (2*x)

преобразуем знаменатель

 cos(2*x)      cos(2*x)  
--------- = -------------
   2               2     
cos (2*x)   1 - sin (2*x)

сделаем замену

u = sin(2*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |    cos(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |    cos(2*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (2*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = 2*dx*cos(2*x)

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 2*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

               1       1  
             ----- + -----
    1        1 - u   1 + u
---------- = -------------
  /     2\         4      
2*\1 - u /                

тогда

                     /             /          
                    |             |           
                    |   1         |   1       
                    | ----- du    | ----- du  
  /                 | 1 + u       | 1 - u     
 |                  |             |           
 |     1           /             /           =
 | ---------- du = ----------- + -----------  
 |   /     2\           4             4       
 | 2*\1 - u /                                 
 |                                            
/                                             
  

= -log(-1 + u)/4 + log(1 + u)/4

делаем обратную замену

u = sin(2*x)

Ответ

  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(-1 + sin(2*x))   log(1 + sin(2*x))     
 | -------- dx = - ------------------ + ----------------- + C0
 | cos(2*x)                4                    4             
 |                                                            
/                                                             

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                                                  
  /                                                  
 |                                                   
 |     1            log(1 - sin(2))   log(1 + sin(2))
 |  -------- dx = - --------------- + ---------------
 |  cos(2*x)               4                 4       
 |                                                   
/                                                    
0                                                    

$${{\log \left(\sin 2+1\right)}\over{4}}-{{\log \left(1-\sin 2\right) }\over{4}}$$

Численный ответ

-0.637807798738107

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                                         
 |    1              log(-1 + sin(2*x))   log(1 + sin(2*x))
 | -------- dx = C - ------------------ + -----------------
 | cos(2*x)                  4                    4        
 |                                                         
/                                                          

$${{{{\log \left(\sin \left(2\,x\right)+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin \left(2\,x\right)-1\right)}\over{2}}}\over{2}}$$