Интеграл 1/cos(t) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dt
 |  cos(t)   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos{\left (t \right )}}\, dt$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dt
 | cos(t)   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  1   
------
cos(t)

Домножим числитель и знаменатель на

cos(t)

получим

  1       cos(t)
------ = -------
cos(t)      2   
         cos (t)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
cos (t) = 1 - sin (t)

преобразуем знаменатель

 cos(t)      cos(t)  
------- = -----------
   2             2   
cos (t)   1 - sin (t)

сделаем замену

u = sin(t)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |    cos(t)       
 | ----------- dt  
 |        2       =
 | 1 - sin (t)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |    cos(t)       
 | ----------- dt  
 |        2       =
 | 1 - sin (t)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = dt*cos(t)

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

           1       1  
         ----- + -----
  1      1 - u   1 + u
------ = -------------
     2         2      
1 - u                 

тогда

                 /             /          
                |             |           
                |   1         |   1       
                | ----- du    | ----- du  
  /             | 1 + u       | 1 - u     
 |              |             |           
 |   1         /             /           =
 | ------ du = ----------- + -----------  
 |      2           2             2       
 | 1 - u                                  
 |                                        
/                                         
  

= log(1 + u)/2 - log(-1 + u)/2

делаем обратную замену

u = sin(t)

Ответ

  /                                                   
 |                                                    
 |   1         log(1 + sin(t))   log(-1 + sin(t))     
 | ------ dt = --------------- - ---------------- + C0
 | cos(t)             2                 2             
 |                                                    
/                                                     

где C0 - это постоянная, не зависящая от t

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                                               
 |    1         log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
 |  ------ dt = --------------- - ---------------
 |  cos(t)             2                 2       
 |                                               
/                                                
0                                                

$${{\log \left(\sin 1+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(1-\sin 1\right) }\over{2}}$$

Численный ответ

1.22619117088352

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1             log(1 + sin(t))   log(-1 + sin(t))
 | ------ dt = C + --------------- - ----------------
 | cos(t)                 2                 2        
 |                                                   
/                                                    

$${{\log \left(\sin t+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin t-1\right) }\over{2}}$$