Интеграл 1/cos(x/2) (dx)

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dx
 |    /x\   
 | cos|-|   
 |    \2/   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  1   
------
   /x\
cos|-|
   \2/

Домножим числитель и знаменатель на

   /x\
cos|-|
   \2/

получим

             /x\
          cos|-|
  1          \2/
------ = -------
   /x\      2/x\
cos|-|   cos |-|
   \2/       \2/

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2/x\          2/x\
cos |-| = 1 - sin |-|
    \2/           \2/

преобразуем знаменатель

    /x\         /x\  
 cos|-|      cos|-|  
    \2/         \2/  
------- = -----------
   2/x\          2/x\
cos |-|   1 - sin |-|
    \2/           \2/

сделаем замену

       /x\
u = sin|-|
       \2/

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    cos|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - sin |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  

  /                
 |                 
 |       /x\       
 |    cos|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dx =
 |        2/x\     
 | 1 - sin |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  

Т.к. du = dx*cos(x/2)/2

  /         
 |          
 |   2      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

  2        1       1  
------ = ----- + -----
     2   1 - u   1 + u
1 - u                 

тогда

  /              /             /          
 |              |             |           
 |   2          |   1         |   1       
 | ------ du =  | ----- du +  | ----- du  
 |      2       | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - u        |             |           
 |             /             /            
/                                         
  

= -log(-1 + u) + log(1 + u)

делаем обратную замену

       /x\
u = sin|-|
       \2/

Ответ

  /                                                     
 |                                                      
 |   1              /        /x\\      /       /x\\     
 | ------ dx = - log|-1 + sin|-|| + log|1 + sin|-||     
 |    /x\           \        \2//      \       \2// + C0
 | cos|-|                                               
 |    \2/                                               
 |                                                      
/                                                       

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1                /        /x\\      /       /x\\
 | ------ dx = C - log|-1 + sin|-|| + log|1 + sin|-||
 |    /x\             \        \2//      \       \2//
 | cos|-|                                            
 |    \2/                                            
 |                                                   
/                                                    

$$2\,\left({{\log \left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)+1\right) }\over{2}}-{{\log \left(\sin \left({{x}\over{2}}\right)-1\right) }\over{2}}\right)$$