Интеграл 1/(cos(x))^4 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     4      
 |  cos (x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{4}{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\cos^{4}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\cos^{4}{\left (x \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sec^{4}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec^{2}{\left (x \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{2} + 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int 1\, du = u$

            Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec^{2}{\left (x \right )} = \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}$

         1. $\int \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = \tan{\left (x \right )}$

         Результат есть: $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sec^{4}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \sec^{2}{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = \tan{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int u^{2} + 1\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 1\, du = u$

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                  
  /                                  
 |                                   
 |     1           sin(1)    2*sin(1)
 |  ------- dx = --------- + --------
 |     4              3      3*cos(1)
 |  cos (x)      3*cos (1)           
 |                                   
/                                    
0                                    

$${{\tan ^31}\over{3}}+\tan 1$$

Численный ответ

2.81658164059915

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                     3            
 |    1             tan (x)         
 | ------- dx = C + ------- + tan(x)
 |    4                3            
 | cos (x)                          
 |                                  
/                                   

$${{\tan ^3x}\over{3}}+\tan x$$