Интеграл 1/cos(x)^(6) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     1      
     |  ------- dx
     |     6      
     |  cos (x)   
     |            
    /             
    0             
    011cos6(x)dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}}\, dx
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1cos6(x)=1cos6(x)\frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\cos^{6}{\left (x \right )}}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        sec6(x)=(tan2(x)+1)2sec2(x)\sec^{6}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )}

      3. Перепишите подынтегральное выражение:

        (tan2(x)+1)2sec2(x)=tan4(x)sec2(x)+2tan2(x)sec2(x)+sec2(x)\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )} = \tan^{4}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}

      4. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=tan(x)u = \tan{\left (x \right )}.

          Тогда пусть du=(tan2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx и подставим dudu:

          u4du\int u^{4}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          15tan5(x)\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2tan2(x)sec2(x)dx=2tan2(x)sec2(x)dx\int 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx

          1. пусть u=tan(x)u = \tan{\left (x \right )}.

            Тогда пусть du=(tan2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx и подставим dudu:

            u2du\int u^{2}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13tan3(x)\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}

          Таким образом, результат будет: 23tan3(x)\frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}

        1. sec2(x)dx=tan(x)\int \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = \tan{\left (x \right )}

        Результат есть: 15tan5(x)+23tan3(x)+tan(x)\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        sec6(x)=(tan2(x)+1)2sec2(x)\sec^{6}{\left (x \right )} = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        (tan2(x)+1)2sec2(x)=tan4(x)sec2(x)+2tan2(x)sec2(x)+sec2(x)\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sec^{2}{\left (x \right )} = \tan^{4}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}

      3. Интегрируем почленно:

        1. пусть u=tan(x)u = \tan{\left (x \right )}.

          Тогда пусть du=(tan2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx и подставим dudu:

          u4du\int u^{4}\, du

          1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

            u4du=u55\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}

          Если сейчас заменить uu ещё в:

          15tan5(x)\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )}

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          2tan2(x)sec2(x)dx=2tan2(x)sec2(x)dx\int 2 \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = 2 \int \tan^{2}{\left (x \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx

          1. пусть u=tan(x)u = \tan{\left (x \right )}.

            Тогда пусть du=(tan2(x)+1)dxdu = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) dx и подставим dudu:

            u2du\int u^{2}\, du

            1. Интеграл unu^{n} есть un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1}:

              u2du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

            Если сейчас заменить uu ещё в:

            13tan3(x)\frac{1}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}

          Таким образом, результат будет: 23tan3(x)\frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )}

        1. sec2(x)dx=tan(x)\int \sec^{2}{\left (x \right )}\, dx = \tan{\left (x \right )}

        Результат есть: 15tan5(x)+23tan3(x)+tan(x)\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      15tan5(x)+23tan3(x)+tan(x)+constant\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    15tan5(x)+23tan3(x)+tan(x)+constant\frac{1}{5} \tan^{5}{\left (x \right )} + \frac{2}{3} \tan^{3}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-5000000001000000000
    Ответ [src]
      1                                                
      /                                                
     |                                                 
     |     1           sin(1)     4*sin(1)     8*sin(1)
     |  ------- dx = --------- + ---------- + ---------
     |     6              5            3      15*cos(1)
     |  cos (x)      5*cos (1)   15*cos (1)            
     |                                                 
    /                                                  
    0                                                  
    tan515+2tan313+tan1{{\tan ^51}\over{5}}+{{2\,\tan ^31}\over{3}}+\tan 1
    Численный ответ [src]
    5.90824557562449
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                             
     |                     5           3            
     |    1             tan (x)   2*tan (x)         
     | ------- dx = C + ------- + --------- + tan(x)
     |    6                5          3             
     | cos (x)                                      
     |                                              
    /                                               
    tan5x5+2tan3x3+tanx{{\tan ^5x}\over{5}}+{{2\,\tan ^3x}\over{3}}+\tan x