Интеграл 1/cbrt(x-1) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  3 _______   
 |  \/ x - 1    
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = \sqrt[3]{x - 1}$.

      Тогда пусть $du = \frac{dx}{3 \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}}$ и подставим $3 du$:

      $\int u\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int u\, du = 3 \int u\, du$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

   2. пусть $u = x - 1$.

      Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{u}}\, du = \frac{3 u^{\frac{2}{3}}}{2}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{3}{2} \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{3}{2} \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{3}{2} \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{3}{2} \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                        2/3
 |      1          -3*(-1)   
 |  --------- dx = ----------
 |  3 _______          2     
 |  \/ x - 1                 
 |                           
/                            
0                            

$$-{{3}\over{2}}$$

Численный ответ

(0.749999999999845 - 1.29903810567639j)

Ответ (Неопределённый)

  /                               
 |                             2/3
 |     1              3*(x - 1)   
 | --------- dx = C + ------------
 | 3 _______               2      
 | \/ x - 1                       
 |                                
/                                 

$${{3\,\left(x-1\right)^{{{2}\over{3}}}}\over{2}}$$