Интеграл 1/(1-3*x) (dx)

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - 3 x + 1$.

      Тогда пусть $du = - 3 dx$ и подставим $- \frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \log{\left (- 3 x + 1 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- 3 x + 1} = - \frac{1}{3 x - 1}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3 x - 1}\, dx = - \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = 3 x - 1$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (- 3 x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \log{\left (- 3 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \log{\left (- 3 x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                             
  /                             
 |                              
 |     1           log(2)   pi*I
 |  ------- dx = - ------ + ----
 |  1 - 3*x          3       3  
 |                              
/                               
0                               

$$-{{\log 2}\over{3}}$$

Численный ответ

-39.1999636292997

Ответ (Неопределённый)

  /                             
 |                              
 |    1             log(1 - 3*x)
 | ------- dx = C - ------------
 | 1 - 3*x               3      
 |                              
/                               

$$-{{\log \left(1-3\,x\right)}\over{3}}$$