Интеграл 1/(1-y^2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |       2   
 |  1 - y    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- y^{2} + 1}\, dy$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- y^{2} + 1} = \frac{1}{2 y + 2} - \frac{1}{2 y - 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 y + 2}\, dy = \frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1}\, dy$

      1. пусть $u = y + 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 y - 2}\, dy = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1}\, dy$

      1. пусть $u = y - 1$.

         Тогда пусть $du = dy$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (y - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (y - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (y + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1              pi*I
 |  ------ dy = oo + ----
 |       2            2  
 |  1 - y                
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

22.3920519833869

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |   1             log(1 + y)   log(-1 + y)
 | ------ dy = C + ---------- - -----------
 |      2              2             2     
 | 1 - y                                   
 |                                         
/                                          

$${{\log \left(y+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(y-1\right)}\over{2}}$$