Интеграл 1/(1-x^4) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       4   
 |  1 - x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- x^{4} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- x^{4} + 1} = \frac{1}{2 x^{2} + 2} + \frac{1}{4 x + 4} - \frac{1}{4 x - 4}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x^{2} + 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{4 x + 4}\, dx = \frac{1}{4} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{4 x - 4}\, dx = - \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{4} \log{\left (x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1              pi*I
 |  ------ dx = oo + ----
 |       4            4  
 |  1 - x                
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

11.5887250733929

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1             atan(x)   log(-1 + x)   log(1 + x)
 | ------ dx = C + ------- - ----------- + ----------
 |      4             2           4            4     
 | 1 - x                                             
 |                                                   
/                                                    

$${{\log \left(x+1\right)}\over{4}}+{{\arctan x}\over{2}}-{{\log \left(x-1\right)}\over{4}}$$