Интеграл 1/(1+exp(x)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |         x   
 |    1 + e    
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(u + 1\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = \frac{1}{u^{2} + u}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} + u} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

1 - log(1 + e) + log(2)

$$- \log{\left(1 + e \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1$$

=

=

1 - log(1 + e) + log(2)

$$- \log{\left(1 + e \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1$$

Численный ответ

0.379885493041722

Ответ (Неопределённый)

  /                                           
 |                                            
 |     1                /       x\      /   x\
 | 1*------ dx = C - log\2 + 2*e / + log\2*e /
 |        x                                   
 |   1 + e                                    
 |                                            
/                                             

$$\int 1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx = C - \log{\left(2 e^{x} + 2 \right)} + \log{\left(2 e^{x} \right)}$$

График