Интеграл 1/(1+exp(x)) (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1            
      /            
     |             
     |      1      
     |  1*------ dx
     |         x   
     |    1 + e    
     |             
    /              
    0              
    0111ex+1dx\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx
    Подробное решение
    1. пусть u=exu = e^{x}.

      Тогда пусть du=exdxdu = e^{x} dx и подставим dudu:

      1u(u+1)du\int \frac{1}{u \left(u + 1\right)}\, du

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

        Метод #1

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u(u+1)=1u+1+1u\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1u+1du=1u+1du\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

            1. пусть u=u+1u = u + 1.

              Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(u+1)\log{\left (u + 1 \right )}

            Таким образом, результат будет: log(u+1)- \log{\left (u + 1 \right )}

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Результат есть: log(u)log(u+1)\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}

        Метод #2

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u(u+1)=1u2+u\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = \frac{1}{u^{2} + u}

        2. Перепишите подынтегральное выражение:

          1u2+u=1u+1+1u\frac{1}{u^{2} + u} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}

        3. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1u+1du=1u+1du\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du

            1. пусть u=u+1u = u + 1.

              Тогда пусть du=dudu = du и подставим dudu:

              1udu\int \frac{1}{u}\, du

              1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

              Если сейчас заменить uu ещё в:

              log(u+1)\log{\left (u + 1 \right )}

            Таким образом, результат будет: log(u+1)- \log{\left (u + 1 \right )}

          1. Интеграл 1u\frac{1}{u} есть log(u)\log{\left (u \right )}.

          Результат есть: log(u)log(u+1)\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}

      Если сейчас заменить uu ещё в:

      log(ex+1)+log(ex)- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}

    2. Добавляем постоянную интегрирования:

      log(ex+1)+log(ex)+constant- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}


    Ответ:

    log(ex+1)+log(ex)+constant- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}

    График
    0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-1
    Ответ [src]
    1 - log(1 + e) + log(2)
    log(1+e)+log(2)+1- \log{\left(1 + e \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1
    =
    =
    1 - log(1 + e) + log(2)
    log(1+e)+log(2)+1- \log{\left(1 + e \right)} + \log{\left(2 \right)} + 1
    Численный ответ [src]
    0.379885493041722
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                           
     |                                            
     |     1                /       x\      /   x\
     | 1*------ dx = C - log\2 + 2*e / + log\2*e /
     |        x                                   
     |   1 + e                                    
     |                                            
    /                                             
    11ex+1dx=Clog(2ex+2)+log(2ex)\int 1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx = C - \log{\left(2 e^{x} + 2 \right)} + \log{\left(2 e^{x} \right)}
    График
    Интеграл 1/(1+exp(x)) (dx) /media/krcore-image-pods/hash/indefinite/c/dc/dfd613ba3aca2835cbf74cee456b1.png