Интеграл 1/(1+e^x) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |       x   
 |  1 + E    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{x} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{e^{x} + 1} = \frac{1}{e^{x} + 1}$

2. пусть $u = e^{x}$.

   Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

   $\int \frac{1}{u \left(u + 1\right)}\, du$

   1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u \left(u + 1\right)} = \frac{1}{u^{2} + u}$

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{2} + u} = - \frac{1}{u + 1} + \frac{1}{u}$

      3. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{u + 1}\, du = - \int \frac{1}{u + 1}\, du$

            1. пусть $u = u + 1$.

               Тогда пусть $du = du$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (u + 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (u + 1 \right )}$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Результат есть: $\log{\left (u \right )} - \log{\left (u + 1 \right )}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (e^{x} + 1 \right )} + \log{\left (e^{x} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                    
  /                                    
 |                                     
 |    1                                
 |  ------ dx = 1 - log(1 + E) + log(2)
 |       x                             
 |  1 + E                              
 |                                     
/                                      
0                                      

$${{\log 2}\over{\log E}}-{{\log \left(E+1\right)-\log E}\over{\log E }}$$

Численный ответ

0.379885493041722

Ответ (Неопределённый)

  /                                     
 |                                      
 |   1                /     x\      / x\
 | ------ dx = C - log\1 + e / + log\e /
 |      x                               
 | 1 + E                                
 |                                      
/                                       

$$x-{{\log \left(E^{x}+1\right)}\over{\log E}}$$