Интеграл 1/(16-x^2) (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |        2   
 |  16 - x    
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{- x^{2} + 16}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{- x^{2} + 16} = \frac{1}{8 x + 32} - \frac{1}{8 x - 32}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{8 x + 32}\, dx = \frac{1}{8} \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

      1. пусть $u = x + 4$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 4 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{8} \log{\left (x + 4 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{8 x - 32}\, dx = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

      1. пусть $u = x - 4$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 4 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \log{\left (x - 4 \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{8} \log{\left (x - 4 \right )} + \frac{1}{8} \log{\left (x + 4 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{8} \log{\left (x - 4 \right )} + \frac{1}{8} \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{8} \log{\left (x - 4 \right )} + \frac{1}{8} \log{\left (x + 4 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                               
  /                               
 |                                
 |     1           log(3)   log(5)
 |  ------- dx = - ------ + ------
 |        2          8        8   
 |  16 - x                        
 |                                
/                                 
0                                 

$${{\log 5}\over{8}}-{{\log 3}\over{8}}$$

Численный ответ

0.0638532029707488

Ответ (Неопределённый)

  /                                         
 |                                          
 |    1             log(-4 + x)   log(4 + x)
 | ------- dx = C - ----------- + ----------
 |       2               8            8     
 | 16 - x                                   
 |                                          
/                                           

$${{\log \left(x+4\right)}\over{8}}-{{\log \left(x-4\right)}\over{8}}$$