Интеграл 1/sin(4*x) (dx)

Вы ввели

  1              
  /              
 |               
 |       1       
 |  1*-------- dx
 |    sin(4*x)   
 |               
/                
0                

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /               
 |                
 |        1       
 | 1*1*-------- dx
 |     sin(4*x)   
 |                
/                 

Подинтегральная функция

     1    
1*--------
  sin(4*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(4*x)

получим

     1       1*sin(4*x)
1*-------- = ----------
  sin(4*x)      2      
             sin (4*x) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
sin (4*x) = 1 - cos (4*x)

преобразуем знаменатель

1*sin(4*x)     1*sin(4*x) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (4*x)    1 - cos (4*x)

сделаем замену

u = cos(4*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*sin(4*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   1*sin(4*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -4*dx*sin(4*x)

  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 4*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

   -1        1*-1/4 /  1       1  \
---------- = ------*|----- + -----|
  /     2\     2    \1 - u   1 + u/
4*\1 - u /                         

тогда

                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             8             8       
 | 4*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  

= -log(1 + u)/8 + log(-1 + u)/8

делаем обратную замену

u = cos(4*x)

Ответ

  /                                                               
 |                                                                
 |        1            log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))     
 | 1*1*-------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 |     sin(4*x)                8                   8              
 |                                                                
/                                                                 

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

nan

$$\text{NaN}$$

=

=

nan

$$\text{NaN}$$

Численный ответ

10.3449662462077

Ответ (Неопределённый)

  /                                                          
 |                                                           
 |      1              log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))
 | 1*-------- dx = C - ----------------- + ------------------
 |   sin(4*x)                  8                   8         
 |                                                           
/                                                            

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}\, dx = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} - 1 \right)}}{8} - \frac{\log{\left(\cos{\left(4 x \right)} + 1 \right)}}{8}$$