Интеграл 1/(sin(4*x)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |  sin(4*x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (4 x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /           
 |            
 |    1       
 | -------- dx
 | sin(4*x)   
 |            
/             

Подинтегральная функция

   1    
--------
sin(4*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(4*x)

получим

   1        sin(4*x)
-------- = ---------
sin(4*x)      2     
           sin (4*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2               2     
sin (4*x) = 1 - cos (4*x)

преобразуем знаменатель

 sin(4*x)      sin(4*x)  
--------- = -------------
   2               2     
sin (4*x)   1 - cos (4*x)

сделаем замену

u = cos(4*x)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |    sin(4*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*x)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |    sin(4*x)       
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - cos (4*x)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -4*dx*sin(4*x)

  /             
 |              
 |    -1        
 | ---------- du
 |   /     2\   
 | 4*\1 - u /   
 |              
/               

Перепишем подинтегральную функцию

              /  1       1  \ 
             -|----- + -----| 
   -1         \1 - u   1 + u/ 
---------- = -----------------
  /     2\           8        
4*\1 - u /                    

тогда

                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
  /                   | 1 + u       | 1 - u     
 |                    |             |           
 |    -1             /             /           =
 | ---------- du = - ----------- - -----------  
 |   /     2\             8             8       
 | 4*\1 - u /                                   
 |                                              
/                                               
  

= -log(1 + u)/8 + log(-1 + u)/8

делаем обратную замену

u = cos(4*x)

Ответ

  /                                                           
 |                                                            
 |    1            log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))     
 | -------- dx = - ----------------- + ------------------ + C0
 | sin(4*x)                8                   8              
 |                                                            
/                                                             

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                        
  /                        
 |                         
 |     1               pi*I
 |  -------- dx = oo + ----
 |  sin(4*x)            8  
 |                         
/                          
0                          

$${\it \%a}$$

Численный ответ

10.3449662462077

Ответ (Неопределённый)

  /                                                        
 |                                                         
 |    1              log(1 + cos(4*x))   log(-1 + cos(4*x))
 | -------- dx = C - ----------------- + ------------------
 | sin(4*x)                  8                   8         
 |                                                         
/                                                          

$${{{{\log \left(\cos \left(4\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(4\,x\right)+1\right)}\over{2}}}\over{4}}$$