Интеграл 1/sin(pi*x) (dx)

Вы ввели

  1             
  /             
 |              
 |      1       
 |  --------- dx
 |  sin(pi*x)   
 |              
/               
0               

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\pi x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /            
 |             
 |     1       
 | --------- dx
 | sin(pi*x)   
 |             
/              

Подинтегральная функция

    1    
---------
sin(pi*x)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(pi*x)

получим

    1       sin(pi*x) 
--------- = ----------
sin(pi*x)      2      
            sin (pi*x)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2                2      
sin (pi*x) = 1 - cos (pi*x)

преобразуем знаменатель

sin(pi*x)      sin(pi*x)   
---------- = --------------
   2                2      
sin (pi*x)   1 - cos (pi*x)

сделаем замену

u = cos(pi*x)

тогда интеграл

  /                   
 |                    
 |   sin(pi*x)        
 | -------------- dx  
 |        2          =
 | 1 - cos (pi*x)     
 |                    
/                     
  

  /                   
 |                    
 |   sin(pi*x)        
 | -------------- dx  
 |        2          =
 | 1 - cos (pi*x)     
 |                    
/                     
  

Т.к. du = -pi*dx*sin(pi*x)

  /              
 |               
 |     -1        
 | ----------- du
 |    /     2\   
 | pi*\1 - u /   
 |               
/                

Перепишем подинтегральную функцию

              /-1 \                
              |---|                
    -1        \ pi/ /  1       1  \
----------- = -----*|----- + -----|
   /     2\     2   \1 - u   1 + u/
pi*\1 - u /                        

тогда

                     /  /             /        \   
                     | |             |         |   
                     | |   1         |   1     |   
                    -| | ----- du +  | ----- du|   
  /                  | | 1 + u       | 1 - u   |   
 |                   | |             |         |   
 |     -1            \/             /          /  =
 | ----------- du = -----------------------------  
 |    /     2\                   2*pi              
 | pi*\1 - u /                                     
 |                                                 
/                                                  
  

= log(-1 + u)/(2*pi) - log(1 + u)/(2*pi)

делаем обратную замену

u = cos(pi*x)

Ответ

  /               log(-1 + cos(pi*x))   log(1 + cos(pi*x))     
 |                ------------------- - ------------------     
 |     1                   2                    2              
 | --------- dx = ---------------------------------------- + C0
 | sin(pi*x)                         pi                        
 |                                                             
/                                                              

где C0 - это постоянная, не зависящая от x

Ответ

  1                  
  /                  
 |                   
 |      1            
 |  --------- dx = oo
 |  sin(pi*x)        
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\pi x \right )}}\, dx = \infty$$

Численный ответ

27.7817945941337

Ответ (Неопределённый)

  /                   log(-1 + cos(pi*x))   log(1 + cos(pi*x))
 |                    ------------------- - ------------------
 |     1                       2                    2         
 | --------- dx = C + ----------------------------------------
 | sin(pi*x)                             pi                   
 |                                                            
/                                                             

$${{{{\log \left(\cos \left(\pi\,x\right)-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos \left(\pi\,x\right)+1\right)}\over{2}}}\over{\pi}}$$