Интеграл 1/sin(t) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dt
 |    sin(t)   
 |             
/              
0              

$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(t \right)}}\, dt$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /             
 |              
 |       1      
 | 1*1*------ dt
 |     sin(t)   
 |              
/               

Подинтегральная функция

    1   
1*------
  sin(t)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(t)

получим

    1      1*sin(1*t)
1*------ = ----------
  sin(t)      2      
           sin (1*t) 

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (t) = 1 - cos (t)

преобразуем знаменатель

1*sin(1*t)     1*sin(1*t) 
---------- = -------------
   2                2     
sin (1*t)    1 - cos (1*t)

сделаем замену

u = cos(t)

тогда интеграл

  /                  
 |                   
 |   1*sin(1*t)      
 | ------------- dt  
 |        2         =
 | 1 - cos (1*t)     
 |                   
/                    
  

  /                  
 |                   
 |   1*sin(1*t)      
 | ------------- dt  
 |        2         =
 | 1 - cos (1*t)     
 |                   
/                    
  

Т.к. du = -dt*sin(t)

  /                
 |                 
 |   1*sin(1*t)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - cos (1*t)   
 |                 
/                  

Перепишем подинтегральную функцию

  1*sin(1*t)    1*-1 /  1       1  \
------------- = ----*|----- + -----|
       2         2   \1 - u   1 + u/
1 - cos (1*t)                       

тогда

                          /             /          
                         |             |           
                         |   1         |   1       
                         | ----- du    | ----- du  
  /                      | 1 + u       | 1 - u     
 |                       |             |           
 |   1*sin(1*t)         /             /           =
 | ------------- du = - ----------- - -----------  
 |        2                  2             2       
 | 1 - cos (1*t)                                   
 |                                                 
/                                                  
  

= u*sin(t)/(1 - cos(t)^2)

делаем обратную замену

u = cos(t)

Ответ

  /                                                       
 |                                                        
 |       1         log(-1 + cos(t))   log(1 + cos(t))     
 | 1*1*------ dt = ---------------- - --------------- + C0
 |     sin(t)             2                  2            
 |                                                        
/                                                         

где C0 - это постоянная, не зависящая от t

Ответ

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

=

=

     pi*I
oo + ----
      2  

$$\infty + \frac{i \pi}{2}$$

Численный ответ

44.1790108686112

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |     1             log(-1 + cos(t))   log(1 + cos(t))
 | 1*------ dt = C + ---------------- - ---------------
 |   sin(t)                 2                  2       
 |                                                     
/                                                      

$$\int 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(t \right)}}\, dt = C + \frac{\log{\left(\cos{\left(t \right)} - 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(\cos{\left(t \right)} + 1 \right)}}{2}$$