Интеграл 1/sin(y) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |  sin(y)   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (y \right )}}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dy
 | sin(y)   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  1   
------
sin(y)

Домножим числитель и знаменатель на

sin(y)

получим

  1       sin(y)
------ = -------
sin(y)      2   
         sin (y)

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2             2   
sin (y) = 1 - cos (y)

преобразуем знаменатель

 sin(y)      sin(y)  
------- = -----------
   2             2   
sin (y)   1 - cos (y)

сделаем замену

u = cos(y)

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |    sin(y)       
 | ----------- dy  
 |        2       =
 | 1 - cos (y)     
 |                 
/                  
  

  /                
 |                 
 |    sin(y)       
 | ----------- dy  
 |        2       =
 | 1 - cos (y)     
 |                 
/                  
  

Т.к. du = -dy*sin(y)

  /         
 |          
 |  -1      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

          /  1       1  \ 
         -|----- + -----| 
 -1       \1 - u   1 + u/ 
------ = -----------------
     2           2        
1 - u                     

тогда

                   /             /          
                  |             |           
                  |   1         |   1       
                  | ----- du    | ----- du  
  /               | 1 + u       | 1 - u     
 |                |             |           
 |  -1           /             /           =
 | ------ du = - ----------- - -----------  
 |      2             2             2       
 | 1 - u                                    
 |                                          
/                                           
  

= log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2

делаем обратную замену

u = cos(y)

Ответ

  /                                                   
 |                                                    
 |   1         log(-1 + cos(y))   log(1 + cos(y))     
 | ------ dy = ---------------- - --------------- + C0
 | sin(y)             2                  2            
 |                                                    
/                                                     

где C0 - это постоянная, не зависящая от y

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1              pi*I
 |  ------ dy = oo + ----
 |  sin(y)            2  
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

44.1790108686112

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1             log(-1 + cos(y))   log(1 + cos(y))
 | ------ dy = C + ---------------- - ---------------
 | sin(y)                 2                  2       
 |                                                   
/                                                    

$${{\log \left(\cos y-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos y+1\right) }\over{2}}$$