Интеграл 1/sin(y/2) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dy
 |     /y\   
 |  sin|-|   
 |     \2/   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (\frac{y}{2} \right )}}\, dy$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dy
 |    /y\   
 | sin|-|   
 |    \2/   
 |          
/           

Подинтегральная функция

  1   
------
   /y\
sin|-|
   \2/

Домножим числитель и знаменатель на

   /y\
sin|-|
   \2/

получим

             /y\
          sin|-|
  1          \2/
------ = -------
   /y\      2/y\
sin|-|   sin |-|
   \2/       \2/

Т.к.

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1

то

   2/y\          2/y\
sin |-| = 1 - cos |-|
    \2/           \2/

преобразуем знаменатель

    /y\         /y\  
 sin|-|      sin|-|  
    \2/         \2/  
------- = -----------
   2/y\          2/y\
sin |-|   1 - cos |-|
    \2/           \2/

сделаем замену

       /y\
u = cos|-|
       \2/

тогда интеграл

  /                
 |                 
 |       /y\       
 |    sin|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dy =
 |        2/y\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  

  /                
 |                 
 |       /y\       
 |    sin|-|       
 |       \2/       
 | ----------- dy =
 |        2/y\     
 | 1 - cos |-|     
 |         \2/     
 |                 
/                  

Т.к. du = -dy*sin(y/2)/2

  /         
 |          
 |  -2      
 | ------ du
 |      2   
 | 1 - u    
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

 -2       /  1       1  \
------ = -|----- + -----|
     2    \1 - u   1 + u/
1 - u                    

тогда

  /                /             /          
 |                |             |           
 |  -2            |   1         |   1       
 | ------ du = -  | ----- du -  | ----- du  
 |      2         | 1 + u       | 1 - u    =
 | 1 - u          |             |           
 |               /             /            
/                                           
  

= -log(1 + u) + log(-1 + u)

делаем обратную замену

       /y\
u = cos|-|
       \2/

Ответ

  /                                                     
 |                                                      
 |   1              /       /y\\      /        /y\\     
 | ------ dy = - log|1 + cos|-|| + log|-1 + cos|-||     
 |    /y\           \       \2//      \        \2// + C0
 | sin|-|                                               
 |    \2/                                               
 |                                                      
/                                                       

где C0 - это постоянная, не зависящая от y

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1                  
 |  ------ dy = oo + pi*I
 |     /y\               
 |  sin|-|               
 |     \2/               
 |                       
/                        
0                        

$${\it \%a}$$

Численный ответ

88.2231774613249

Ответ (Неопределённый)

  /                                                  
 |                                                   
 |   1                /       /y\\      /        /y\\
 | ------ dy = C - log|1 + cos|-|| + log|-1 + cos|-||
 |    /y\             \       \2//      \        \2//
 | sin|-|                                            
 |    \2/                                            
 |                                                   
/                                                    

$$2\,\left({{\log \left(\cos \left({{y}\over{2}}\right)-1\right) }\over{2}}-{{\log \left(\cos \left({{y}\over{2}}\right)+1\right) }\over{2}}\right)$$