Интеграл 1/sin(x)+sec(x) (dx)

Вы ввели

  1                     
  /                     
 |                      
 |  /  1            \   
 |  |------ + sec(x)| dx
 |  \sin(x)         /   
 |                      
/                       
0                       

$$\int_{0}^{1} \sec{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Интегрируем почленно:

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\sec{\left (x \right )} = \frac{\tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + \sec^{2}{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}}$

   2. пусть $u = \tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + \tan{\left (x \right )} \sec{\left (x \right )} + 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u}\, du$

      1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (\cos{\left (x \right )} + 1 \right )} + \log{\left (\tan{\left (x \right )} + \sec{\left (x \right )} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                          
  /                          
 |                           
 |  /  1            \        
 |  |------ + sec(x)| dx = oo
 |  \sin(x)         /        
 |                           
/                            
0                            

$${\it \%a}$$

Численный ответ

45.4052020394948

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                    
 |                                                                                     
 | /  1            \          log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))                       
 | |------ + sec(x)| dx = C + ---------------- - --------------- + log(sec(x) + tan(x))
 | \sin(x)         /                 2                  2                              
 |                                                                                     
/                                                                                      

$$\log \left(\tan x+\sec x\right)-{{\log \left(\cos x+1\right)}\over{ 2}}+{{\log \left(\cos x-1\right)}\over{2}}$$