Интеграл 1/(sin(x))^4 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     4      
 |  sin (x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\csc^{4}{\left (x \right )} = \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc^{2}{\left (x \right )}$

   3. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $du$:

         $\int - u^{2} - 1\, du$

         1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

               $\int -1\, du = - u$

            Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} - u$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc^{2}{\left (x \right )} = \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )}$

         1. $\int \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \cot{\left (x \right )}$

         Результат есть: $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\csc^{4}{\left (x \right )} = \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \csc^{2}{\left (x \right )}$

   2. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

      Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $du$:

      $\int - u^{2} - 1\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int -1\, du = - u$

         Результат есть: $- \frac{u^{3}}{3} - u$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                
  /                
 |                 
 |     1           
 |  ------- dx = oo
 |     4           
 |  sin (x)        
 |                 
/                  
0                  

$${\it \%a}$$

Численный ответ

7.81431122445857e+56

Ответ (Неопределённый)

  /                                 
 |                              3   
 |    1                      cot (x)
 | ------- dx = C - cot(x) - -------
 |    4                         3   
 | sin (x)                          
 |                                  
/                                   

$$-{{3\,\tan ^2x+1}\over{3\,\tan ^3x}}$$