Интеграл 1/(sin(x)^(22)) (dx)

Вы ввели

  1            
  /            
 |             
 |     1       
 |  -------- dx
 |     22      
 |  sin  (x)   
 |             
/              
0              

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin^{22}{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\sin^{22}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\sin^{22}{\left (x \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\csc^{22}{\left (x \right )} = \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left (x \right )}$

   3. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left (x \right )} = \cot^{20}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 10 \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 45 \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 120 \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 210 \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 252 \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 210 \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 120 \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 45 \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 10 \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}$

   4. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cot^{21}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 10 \int \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{18}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{19} \cot^{19}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10}{19} \cot^{19}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 45 \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 45 \int \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{17} \cot^{17}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{45}{17} \cot^{17}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 120 \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{15} \cot^{15}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 8 \cot^{15}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 210 \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 210 \int \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{13} \cot^{13}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{210}{13} \cot^{13}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 252 \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 252 \int \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{11} \cot^{11}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{252}{11} \cot^{11}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 210 \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 210 \int \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{9} \cot^{9}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{70}{3} \cot^{9}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 120 \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{7} \cot^{7}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{120}{7} \cot^{7}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 45 \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 45 \int \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5} \cot^{5}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 9 \cot^{5}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 10 \int \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10}{3} \cot^{3}{\left (x \right )}$

      1. $\int \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \cot{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{21} \cot^{21}{\left (x \right )} - \frac{10}{19} \cot^{19}{\left (x \right )} - \frac{45}{17} \cot^{17}{\left (x \right )} - 8 \cot^{15}{\left (x \right )} - \frac{210}{13} \cot^{13}{\left (x \right )} - \frac{252}{11} \cot^{11}{\left (x \right )} - \frac{70}{3} \cot^{9}{\left (x \right )} - \frac{120}{7} \cot^{7}{\left (x \right )} - 9 \cot^{5}{\left (x \right )} - \frac{10}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\csc^{22}{\left (x \right )} = \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left (x \right )}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{10} \csc^{2}{\left (x \right )} = \cot^{20}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 10 \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 45 \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 120 \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 210 \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 252 \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 210 \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 120 \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 45 \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + 10 \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )} + \csc^{2}{\left (x \right )}$

   3. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

         Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

         $\int u^{20}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int u^{20}\, du = - \int u^{20}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{21}}{21}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{21} \cot^{21}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 10 \int \cot^{18}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{18}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{18}\, du = - \int u^{18}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{18}\, du = \frac{u^{19}}{19}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{19}}{19}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{19} \cot^{19}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10}{19} \cot^{19}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 45 \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 45 \int \cot^{16}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{16}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{16}\, du = - \int u^{16}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{16}\, du = \frac{u^{17}}{17}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{17}}{17}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{17} \cot^{17}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{45}{17} \cot^{17}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 120 \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \cot^{14}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{14}\, du = - \int u^{14}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{15}}{15}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{15} \cot^{15}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 8 \cot^{15}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 210 \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 210 \int \cot^{12}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{12}\, du = - \int u^{12}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{13}}{13}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{13} \cot^{13}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{210}{13} \cot^{13}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 252 \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 252 \int \cot^{10}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{10}\, du = - \int u^{10}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{11}}{11}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{11} \cot^{11}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{252}{11} \cot^{11}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 210 \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 210 \int \cot^{8}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{9}}{9}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{9} \cot^{9}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{70}{3} \cot^{9}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 120 \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 120 \int \cot^{6}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{7}}{7}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{7} \cot^{7}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{120}{7} \cot^{7}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 45 \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 45 \int \cot^{4}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{5}}{5}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{5} \cot^{5}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 9 \cot^{5}{\left (x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 10 \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = 10 \int \cot^{2}{\left (x \right )} \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = \cot{\left (x \right )}$.

            Тогда пусть $du = \left(- \cot^{2}{\left (x \right )} - 1\right) dx$ и подставим $- du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$

               1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{3}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{3} \cot^{3}{\left (x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{10}{3} \cot^{3}{\left (x \right )}$

      1. $\int \csc^{2}{\left (x \right )}\, dx = - \cot{\left (x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{1}{21} \cot^{21}{\left (x \right )} - \frac{10}{19} \cot^{19}{\left (x \right )} - \frac{45}{17} \cot^{17}{\left (x \right )} - 8 \cot^{15}{\left (x \right )} - \frac{210}{13} \cot^{13}{\left (x \right )} - \frac{252}{11} \cot^{11}{\left (x \right )} - \frac{70}{3} \cot^{9}{\left (x \right )} - \frac{120}{7} \cot^{7}{\left (x \right )} - 9 \cot^{5}{\left (x \right )} - \frac{10}{3} \cot^{3}{\left (x \right )} - \cot{\left (x \right )}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{969969} \left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left (x \right )}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left (x \right )}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left (x \right )}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left (x \right )}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left (x \right )}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left (x \right )}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left (x \right )}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left (x \right )}}\right) \cot{\left (x \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{969969} \left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left (x \right )}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left (x \right )}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left (x \right )}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left (x \right )}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left (x \right )}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left (x \right )}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left (x \right )}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left (x \right )}}\right) \cot{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{969969} \left(969969 + \frac{3233230}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{8729721}{\tan^{4}{\left (x \right )}} + \frac{16628040}{\tan^{6}{\left (x \right )}} + \frac{22632610}{\tan^{8}{\left (x \right )}} + \frac{22221108}{\tan^{10}{\left (x \right )}} + \frac{15668730}{\tan^{12}{\left (x \right )}} + \frac{7759752}{\tan^{14}{\left (x \right )}} + \frac{2567565}{\tan^{16}{\left (x \right )}} + \frac{510510}{\tan^{18}{\left (x \right )}} + \frac{46189}{\tan^{20}{\left (x \right )}}\right) \cot{\left (x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                 
  /                 
 |                  
 |     1            
 |  -------- dx = oo
 |     22           
 |  sin  (x)        
 |                  
/                   
0                   

$${\it \%a}$$

Численный ответ

6.55184554329798e+398

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                              
 |                                                            11             13             7            9            17            3            19         21   
 |    1                            5           15      252*cot  (x)   210*cot  (x)   120*cot (x)   70*cot (x)   45*cot  (x)   10*cot (x)   10*cot  (x)   cot  (x)
 | -------- dx = C - cot(x) - 9*cot (x) - 8*cot  (x) - ------------ - ------------ - ----------- - ---------- - ----------- - ---------- - ----------- - --------
 |    22                                                    11             13             7            3             17           3             19          21   
 | sin  (x)                                                                                                                                                      
 |                                                                                                                                                               
/                                                                                                                                                                

$$-{{969969\,\tan ^{20}x+3233230\,\tan ^{18}x+8729721\,\tan ^{16}x+ 16628040\,\tan ^{14}x+22632610\,\tan ^{12}x+22221108\,\tan ^{10}x+ 15668730\,\tan ^8x+7759752\,\tan ^6x+2567565\,\tan ^4x+510510\,\tan ^2x+46189}\over{969969\,\tan ^{21}x}}$$