Интеграл 1/(t^2+4) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dt
 |   2       
 |  t  + 4   
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2} + 4}\, dt$$

Подробное решение

Дан интеграл:

  /         
 |          
 |   1      
 | ------ dt
 |  2       
 | t  + 4   
 |          
/           

Перепишем подинтегральную функцию

  1            1       
------ = --------------
 2         /     2    \
t  + 4     |/-t \     |
         4*||---|  + 1|
           \\ 2 /     /

или

  /           
 |            
 |   1        
 | ------ dt  
 |  2        =
 | t  + 4     
 |            
/             
  

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dt
 |      2       
 | /-t \        
 | |---|  + 1   
 | \ 2 /        
 |              
/               
----------------
       4        

В интеграле

  /             
 |              
 |     1        
 | ---------- dt
 |      2       
 | /-t \        
 | |---|  + 1   
 | \ 2 /        
 |              
/               
----------------
       4        

сделаем замену

    -t 
v = ---
     2 

тогда

интеграл =

  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4   

делаем обратную замену

  /                       
 |                        
 |     1                  
 | ---------- dt          
 |      2                 
 | /-t \                  
 | |---|  + 1             
 | \ 2 /               /t\
 |                 atan|-|
/                      \2/
---------------- = -------
       4              2   

Решением будет:

        /t\
    atan|-|
        \2/
C + -------
       2   

Ответ

  1                      
  /                      
 |                       
 |    1         atan(1/2)
 |  ------ dt = ---------
 |   2              2    
 |  t  + 4               
 |                       
/                        
0                        

$${{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$

Численный ответ

0.231823804500403

Ответ (Неопределённый)

  /                    /t\
 |                 atan|-|
 |   1                 \2/
 | ------ dt = C + -------
 |  2                 2   
 | t  + 4                 
 |                        
/                         

$${{\arctan \left({{t}\over{2}}\right)}\over{2}}$$