Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл 1/(tan(x))^3 (dx)

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение 😼

∫d
Примеры

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Кусочно-заданная:

{ кусочно-заданную функцию ввести здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     3      
 |  tan (x)   
 |            
/             
0
    ∫011tan⁡3(x) dx\int_{0}^{1} \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}\, dx
    Подробное решение

    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1tan⁡3(x)=1tan⁡3(x)\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

        1tan⁡3(x)=tan⁡(x)(sec⁡2(x)−1)2\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{\tan{\left (x \right )}}{\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}

      3. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        log⁡(tan⁡2(x)+1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2−log⁡(tan⁡2(x)+1)2sec⁡2(x)−2−log⁡(sec⁡(x)−1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2+log⁡(sec⁡(x)−1)2sec⁡2(x)−2−log⁡(sec⁡(x)+1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2+log⁡(sec⁡(x)+1)2sec⁡2(x)−2−12sec⁡2(x)−2\frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{1}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2}

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

        1tan⁡3(x)=tan⁡(x)(sec⁡2(x)−1)2\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{\tan{\left (x \right )}}{\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}

      2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

        Но интеграл

        log⁡(tan⁡2(x)+1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2−log⁡(tan⁡2(x)+1)2sec⁡2(x)−2−log⁡(sec⁡(x)−1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2+log⁡(sec⁡(x)−1)2sec⁡2(x)−2−log⁡(sec⁡(x)+1)sec⁡2(x)2sec⁡2(x)−2+log⁡(sec⁡(x)+1)2sec⁡2(x)−2−12sec⁡2(x)−2\frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{1}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2}

    2. Теперь упростить:

      −12log⁡(−1+1cos⁡(x))−12log⁡(1+1cos⁡(x))+12log⁡(1cos⁡2(x))−12tan⁡2(x)- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}

    3. Добавляем постоянную интегрирования:

      −12log⁡(−1+1cos⁡(x))−12log⁡(1+1cos⁡(x))+12log⁡(1cos⁡2(x))−12tan⁡2(x)+constant- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}

    Ответ:

    −12log⁡(−1+1cos⁡(x))−12log⁡(1+1cos⁡(x))+12log⁡(1cos⁡2(x))−12tan⁡2(x)+constant- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}

    График
    02468-8-6-4-2-1010-20000002000000
    Ответ [src]
      1                       
  /                       
 |                        
 |     1              pi*I
 |  ------- dx = oo - ----
 |     3               2  
 |  tan (x)               
 |                        
/                         
0
    %a{\it \%a}
    Численный ответ [src]
    9.15365037903492e+37
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                                                                                                       
 |                                                                           /       2   \      2       /       2   \      2                         2                    
 |    1                   1          log(1 + sec(x))   log(-1 + sec(x))   log\1 + tan (x)/   sec (x)*log\1 + tan (x)/   sec (x)*log(1 + sec(x))   sec (x)*log(-1 + sec(x))
 | ------- dx = C - -------------- + --------------- + ---------------- - ---------------- + ------------------------ - ----------------------- - ------------------------
 |    3                       2                 2                 2                  2                      2                          2                         2        
 | tan (x)          -2 + 2*sec (x)    -2 + 2*sec (x)    -2 + 2*sec (x)     -2 + 2*sec (x)         -2 + 2*sec (x)             -2 + 2*sec (x)            -2 + 2*sec (x)     
 |                                                                                                                                                                        
/
    −log⁡sin⁡x−12 sin⁡2x-\log \sin x-{{1}\over{2\,\sin ^2x}}
    Упростить