Интеграл 1/(tan(x))^3 (dx)

Вы ввели

  1           
  /           
 |            
 |     1      
 |  ------- dx
 |     3      
 |  tan (x)   
 |            
/             
0             

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{\tan{\left (x \right )}}{\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

   3. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{1}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\tan^{3}{\left (x \right )}} = \frac{\tan{\left (x \right )}}{\left(\sec^{2}{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

   2. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\tan^{2}{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} - 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )} \sec^{2}{\left (x \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} + \frac{\log{\left (\sec{\left (x \right )} + 1 \right )}}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2} - \frac{1}{2 \sec^{2}{\left (x \right )} - 2}$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{2} \log{\left (-1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (1 + \frac{1}{\cos{\left (x \right )}} \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (\frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \right )} - \frac{1}{2 \tan^{2}{\left (x \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |     1              pi*I
 |  ------- dx = oo - ----
 |     3               2  
 |  tan (x)               
 |                        
/                         
0                         

$${\it \%a}$$

Численный ответ

9.15365037903492e+37

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                                                                                                                       
 |                                                                           /       2   \      2       /       2   \      2                         2                    
 |    1                   1          log(1 + sec(x))   log(-1 + sec(x))   log\1 + tan (x)/   sec (x)*log\1 + tan (x)/   sec (x)*log(1 + sec(x))   sec (x)*log(-1 + sec(x))
 | ------- dx = C - -------------- + --------------- + ---------------- - ---------------- + ------------------------ - ----------------------- - ------------------------
 |    3                       2                 2                 2                  2                      2                          2                         2        
 | tan (x)          -2 + 2*sec (x)    -2 + 2*sec (x)    -2 + 2*sec (x)     -2 + 2*sec (x)         -2 + 2*sec (x)             -2 + 2*sec (x)            -2 + 2*sec (x)     
 |                                                                                                                                                                        
/                                                                                                                                                                         

$$-\log \sin x-{{1}\over{2\,\sin ^2x}}$$